sexta-feira, 18 de junho de 2010

Resumo dos proxímos assusntos Pa e Pg.

30/06/2009 - 14:32
(ps.: quem perdeu o assunto atualizar-se)

Sequências
Definição: uma sequência numérica é uma sucessão de números, de acordo com um padrão pré-estabelecido.
Exemplo: sequência dos quadrados dos números naturais: (1, 4 ,9 16, 25…)sequência dos números ímpares: (1, 3, 5, 7, 9…)
Uma famosa sequência na matemática é a sequência de Fibonacci, que segue o seguinte padrão:
- o primeiro termo é igual a 1;- o segundo termo é igual a 1;- a partir do terceiro termo, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, o terceiro termo será 1 + 1 = 2; o quarto termo será o terceiro mais o segundo, i.e., 2 + 3 = 5
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 47, 81, …) No geral, An = An-1 + An -2, onde An é o n-ésimo termo da sequência.
Exemplo 2: Seja a sequência numérica: A1 = 2 (A1 = primeiro termo); An = A(n – 1) + 2n. Assim, o segundo termo seria A1 + 2*2 = 1+ 4 = 5; o terceiro termo seria A2 + 2*3 = 5 + 6 = 11; o quarto termo seria A3 + 2*4 = 11 + 8 = 19 etc
(1, 5, 11, 19, …)
Progressões
Uma sequência é classificada de progressão quando um certo termo (excetuando-se o primeiro) é igual ao anterior mais (ou vezes) um número fxo, chamado de razão da progressão. As progressão são classificadas de
1. Progressão Aritmética (P.A);2. Progressão Geométrica (P.G)
1. P.A
Veja a sequência (1, 4, 7, 10, 13, …) Prestando atenção, podemos perceber que
4 = 1 +3; 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3; 13 = 10 + 3; … Cada termo pode ser calculado somando-se 3 ao termo anterior. Uma sequência que possui essa propriedade é classificada como progressão aritmética.O valor somado,3, é chamado de razão da progressão, geralmente denotada pela letra r. Essa razão pode ser um número positivo, negativo, ou até mesmo nulo. Nestes casos, as PA’s gerados são classificadas como crescentes, decrescentes e constantes, respectivamente. A PA do nosso exemplo inicial é crescente, pois r = 3 e 3 > 0. Já a PA (8 ,6, 4, 2, …) é decrescente, pois sua razão é igual a -2, e -2 < 0.Para construirmos uma PA, basta termos ou um termo e a razão ou dois termos, a partir dos quais neste caso podemos calcular o valor da razão. Vejamos os exemplos abaixo:
1 – Em uma PA crescente, o quarto termo vale 13 e a razão da PA vale 2. Qual será o valor do oitavo termo? E do segundo termo?
Basta pensarmos que a razão é a variação de um termo para outro. Do quarto termo para o oitavo “andaremos” quatro “casas”, ou seja, avançaremos quatro termos. Assim, devemos multiplicar a razão por 4, e somar 13 ao resultado (pois o quarto termo é igual a 13). Assim, A8 = A4 + 4r = 13 + 4*2 = 21.No segundo caso, queremos calcular o valor do segundo termo. Como do quarto termo para o segundo retrocedemos duas casas, devemos diminuir 13 de 2r. Então A2 = A4 – 2r = 13 – 2*2= 9
2 – Em uma PA, o sétimo termo vale 15 e o segundo vale 2. Qual o primeiro termo da PA?
Para decobrirmos o primeiro termo, devemos saber o valor da razão. Como sabemos o valor de dois termos,´isso será possível. Como? Ora, do segundo para o sétimo termo tivemos uma variação de cinco casas, e o aumento numérico dos termos foi de 13 (15 – 2). Como a razão é a varição de um termo para outro, basta então fazermos uma simples regra de três:
em 5 termos, houve um aumento de 13; em um termo, r
13 ———> 5r ———-> 1 então r = 13/5
Então o primeiro termo pode ser calculado por A1 = A2 – r = 2 – 13/5 = – 3/5.
Mais propriedades de uma P.A:
Para qualquer termo excetuando-se o primeiro e o último (este caso, se a P.A for finita), o valor de tal termo é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor.
Exemplo: (1, 4, 7, 10,…) –> 4 = (1 + 7)/2; 7 = (4 + 10)/2; etc.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A
Vejamos a sequência de números naturais (1,2,3,4,5,6,…), que representa uma P.A, cujo primeiro termo vale 1, e cuja razão vale 1 também.
a) Qual a soma dos seis primeiros termos?
Resp.: vejamos que: 1 + 6 = 7; 2 + 5 = 7; 3 + 4 = 7, i.e., termos equidistantes determinam somas iguais. Como temos seis termos, o total de somas será 6/2 = 3. Como cada soma vale 7, temos que1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7 * 3 = 21
b) Qual a soma dos 12 primeiros termos?
Resp.: vejamos que 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 + 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13. Como temos 12 termos, teremos 6 somas, de resultado 13. Então S = (12/2) * 13 = 6 * 13 = 78
No geral, a soma dos n primeiros termos de uma P.A vale S = (A1 + An) * n/2, onde A1 e An são o primeiro e último termo somados, respectivamente, e n é o número de termos somados.
Exemplo: Na PA (2, 5, 8, 11, …), qual será o valor da soma dos 10 primeiros termos?
Resp.: vejamos que a razão vale 5 – 2 = 3, e A1 = 2. Como de A1 para A10 andamos 9 casas, então A10 = 9r + A1 = 9*3 + 2 = 29. Como temos 10 termos, n = 10, e A1 + A10 = 2 = 29 = 31.
Então S = (2 + 29) * 10/2 = 31 * 5 = 155
Obs.: essa fórmula nos serve para somar não apenas do primeiro ao nésimo termo, como também de tal termo até outro.
Exemplo: usando a mesma PA (2,5,8,11,…), qual será a soma do sexto ao décimo segundo termo?
Do sexto ao décimo segundo termo há (12 – 6) + 1 = 7 termos. Somamos um à diferença entre 12 e 6 pois dessa forma estaríamos excluindo o sexto termo; para tê-lo, adicionamos 1. Então n = 7. Falta descobrirmos quanto vale o sexto e o décimo segundo termos. Como o quarto termo é 11, então sexto termo será 11 + 3 + 3 = 17. E o décimo segundo termo? A12 = 6r + A6 = 18 + 17 = 35.
Então S = (17 + 35) * 7/2 = 217.
Exercício: entre 200 e 400, quantos números há que, quando divididos por 11, deixam resto 7?
Resp.: primeiramente, precisamos descobrir qual é o primeiro termo. Dividamos 200 por 11, para começar. A divisão deixa resto 2. Entao 200 + 5 = 205 deixa resto 2 + 5 = 7 quando dividido por 11. Bingo! Achamos o primeiro termo. Como a divisão é sempre por 11, então a razão da P.A. será 11. Como os termos estão entre 200 e 400, precisamos descobrir o último termo. Dividamos 400 por 11. Deixa resto 4, então 400 + 3 = 403 deixa resto 7. Como 403 > 400, então o último termo dessa P.A será 403 – r = 403 – 11 = 392. Quantos termos há? Sabemos que An = (n – 1)*11 + A1, onde An é o último termo. Então 392 = 11(n – 1) + 205.187 = 11(n – 1) —> n – 1 = 17 assim n = 18. ou seja, 392 é o décimo oitavo termo. Assim há 18 números entre 200 e 400 que, quando divididos por 11, deixam resto 7.
Descobrindo quantos termos foram somados
Em uma P.A finita, cujo primeiro termo vale 3 e cuja razão vale 4, a soma dos seus n termos vale 105. Quantos termos tem essa P.A?
Solução: precisamos calcular o último termo. Já temos o primeiro, e a razão, então a(n) = a1 + (n – 1)x4
a(n) = 3 + 4(n – 1) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1
S = (a1 + a(n)) x n/2 —> (3 + 4n – 1) x n/2 = (4n + 2) x n/2 = n(2n + 1) = 105
2n^2 + n = 105 —> 2n^2 + n – 105 = 0 [equação do 2º grau]
%delta = 1^2 – 4×2x(-105) = 1 + 840 = 841 —> n = [-1 +- sqrt(841)]/2×2
sqrt(841) = 29, e n deve ser natural, então n = [-1 + 29]/4 = 28 / 4 = 7
Resp.: esta P.A tem 7 termos
Dicas sobre questões com P.A:
Caso a questão diga: três termos estão em PA e sua soma vale x. Então temos três termos, a, b e c. Chamemos b o termo do meio. Então a é anterior a b, e c é posterior. Assim, a = b -r e c = b + r, sendo r a razão da P.A. Ao somarmos os três termos, temos que b + b – r + b + r = 3b –> Como agora só temos uma variável, descobrimos um dos três termos. Se soubermos a razão, descobrimos os outros dois termos; esta artimanha será muito útil quando estudarmos polinômios.
Se tivermos três termos de uma P.A, o termo central é a média aritmética dos outros dois
(1,4,7) –> 4 = 1/2 (1 + 7)

9 comentários:

  1. Aiiin ta mt dificioo de entender :S Oh meo Deus é mlr estudar p recuperação. :s
    Maiara Costenaro 1°B

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  2. Vixiiiiii
    Se eu podesse matar quem inventou a Matematica mataria Hj

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  3. confusão total em professora, não entendi nada :/
    que isso viu.

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  4. muito obrigada
    foi de muita ajuda
    vlw...

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  5. adoro exercicios de sequencia e por isso gostei muito obrigada!!
    Alias, eu criei uma formula diferende de achar os termos em berve voces saberam!!
    beijos...

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  6. kkkkk, muito legal e interessante!
    Parabéns!

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  7. É tenho que concordar com meus "colegas"... Tá meio difícil de entender o assunto. Tem jeito de você explicar mais detalhadamente???
    Se puder vai ser bem melhor... Mas mesmo assim parabéns pelo site!

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  8. "Nossa,bem que dizem mesmo, nossos jovens estão perdidos, estava olhando, e reparei vários comentários dizendo que seria difícil este conteúdo, por favor hein, nosso Brasil tá perdido devido a nossas queridas novas gerações, um bando de retardados que só pensam em festa, sexo, álcool, e olha, vou dizer uma coisa, tomara que a teoria da evolução não seja verdade, pois do jeito que esses jovens não utilizam o cérebro, daqui uns anos, as novas gerações terão cérebro de pipoca!" E não adianta tentarem me rebaixar aqui não viu jovens, pois tenho 16 anos...

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